FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

 

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

Pasos del caso 2 factor común por agrupación de términos:

• Identificar términos con factores comunes.
• Agrupar estos términos en paréntesis. En este paso es importante que verifiquemos que los signos estén siendo operados correctamente.
• Extraer el factor común de cada paréntesis.
• Identificar el factor polinomio y extraerlo como factor común.

Ejemplo:

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

Que es nuestra respuesta.

Ejemplos:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)

Otra forma de hacerlo:

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

En el siguiente espacio te dejo un video en el cual te familiarizaras aun mejor con el tema.

👉

Pon en practica tus saberes resolviendo los siguientes problemas.

Ejercicios:

1. am−bm+an−bn

(a−b)(m+n)

2. 20ax−5bx−2by+8ay

(5x+2y)(4a−b)

3. 3a³−3a²b+9ab²−a²+ab−3b²

4.(3a-1)(a²−ab+3b²)


5.2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b


Agrupo los términos que tienen un factor común:


(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

Las ecuaciones de primer grado no necesariamente tienen que ser ecuaciones de primer grado con una incógnita. Por el contrario, podemos tener varios valores desconocidos para averiguar, o pueden aparecer otros casos en donde la x esté elevada al cuadrado, dando lugar a ecuaciones de segundo grado. Hoy veremos el caso particular de las ecuaciones de primer grado donde se visualizan dos incógnitas y cómo resolver las mismas.

Este tipo de ecuaciones pueden aparecer en ejercicios de razonamiento o bien como actividad planteada. Los libros de Aurelio Baldor constan de cientos de ejercicios de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que puedes resolver, y puedes encontrar tanto con las ecuaciones directas así como también a través de problemas que te solicitan encontrar dos valores diferentes, como edades o cantidades, por citar ejemplos.

Un ejemplo de problema sería el caso de dos personas cuyas edades suman 50 años y se sabe que una tiene 10 años más que la otra. Podemos pensar cada edad como una incógnita distinta, y resolverla mediante lo que llamaremos sistema de ecuaciones de primer grado.

Para resolver este tipo de ecuaciones debemos plantearnos lo siguiente (continuando con el ejemplo dado):

x + y = 50 (las edades sumadas dan 50)

x = y + 10 (la edad de la primera persona es de 10 años más que la de la segunda)

Para resolverlas podemos optar por 3 métodos:

• Método de sustitución.
• Método de reducción.
• Método de igualación.

Empecemos con las explicaciones de modo a que aprendas cómo resolver ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Método de sustitución.

En este paso, la idea será aprovechar la presencia de dos ecuaciones y utilizarlas para ir hallando de a una las incógnitas. Concretamente consiste en tomar las dos ecuaciones (mismo ejemplo de antes) y expresarlas de esta manera:

x + y = 50

x = y + 10

Entonces, debemos encontrar una solución que verifique las dos ecuaciones. Para ello tomaremos el dato que tenemos en la segunda ya que nos dice exactamente cuanto es lo que vale x. De esta forma, sustituimos en la primera la x por lo que vimos en la segunda, quedando algo así:

(y + 10) + y = 50

Ahora tenemos una ecuación muy simple de una incógnita sola que resolveremos normalmente, obteniendo como resultado:

2y = 50 – 10

2y = 40

y = 20

Ya sabes una de las edades, así que ahora usamos este valor en la otra ecuación y la resolvemos nuevamente, quedando un procedimiento similar a este:

x = (20) + 10

x = 30

Como ves, el par X=30 e Y=20 verifica las dos ecuaciones dadas al principio.

Método de reducción.

Si bien puede ser el más difícil de entender, es también de los más efectivos y útiles para este tipo de sistemas de ecuaciones, además con algo de práctica se vuelve simple.

Para cambiar el ejemplo, utilizaremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 42

4x – 2y = 36

Lo que haremos será operar en forma inteligente para sumar las ecuaciones o restarlas de modo de despejar alguna de las incógnitas en alguna de las ecuaciones.

En este caso, vamos a necesitar hacer una multiplicación y una suma. En concreto, multiplicaremos todos los términos de la primera ecuación por 2 y efectuaremos la suma término a término con la segunda ecuación de modo que nos quedarán solo X para despejar.

2x + y = 42 (Todo multiplicado por 2)

4x +2y =84

4x – 2y = 36

——————

8x + 0y = 120

8x = 120

x = 120/8

x = 15

Una vez conocemos el valor de X, utilizamos el método de sustitución para finalizar, tomando cualquiera de las dos ecuaciones y sustituyendo su X por lo que hayamos encontrado, en este caso 15:

2x + y = 42

2 (15) + y = 42

30 + y = 42

y = 42 – 30

y = 12

Método de igualación.

Este método consiste en despejar la X en función de Y en ambas ecuaciones y luego igualarlas para saber cuánto vale la segunda incógnita. 

Por ejemplo:

x + y = 42

x – y + 22 = 36

Entonces, despejamos y obtenemos:

x = 42 – y

x = 36 – 22 + y = 14 + y

Por último:

42 – y = 14 + y

42 – 14 = y+y

28 = 2y

28/2 = y

14 = y

Luego despejamos la x sustituyendo y listo.

Conclusión.

Al fin y al cabo existen distintas formas de resolver ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, es cuestión de ir practicándolos para que la resolución de estos problemas sea cada vez más simple. Las ecuaciones se pueden complicar cuando aparecen fracciones (con numeradores y denominadores) que requerirán aplicar técnicas de despeje de fórmula.

También existen aplicaciones de Android para resolver ecuaciones de todo tipo o si prefieres algo más clásico, calculadoras avanzadas que permiten la introducción de incógnitas, aunque lógicamente la misma no interpretará problemas.

Dos de ellas son:

Photomath y Mathaway.

          

Les dejo el siguiente video para que sea mejor la comprensión del tema.

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TERMINOS SEMEJANTES.

 

TÉRMINOS SEMEJANTES.

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo: y son términos semejantes, además y también son términos semejantes, pues su parte literal es decir es la misma.

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal ; es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo.

• 6 a 2 b 3 es término semejante con – 2 a 2 b 3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a 2 b 3 ).
• 
  
• 1/3 x 5 yz es término semejante con x 5 yz. porque ambos tienen el mismo factor literal (x 5 yz).
• 
  
• 0,3 a 2 c no es término semejante con 4 ac 2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Suma y Resta de Términos Semejantes.

En algebra un término se compone por una variable o incógnita: que puede ser cualquier letra del abecedario y generalmente usamos las últimas.

Una Constante: que está representada por los números.

Un signo: este puede ser positivo o negativo

La potencia o exponente: que es un número pequeño ubicado en la parte superior de los números regulares.

Un término semejante es aquel que tiene la misma variable (letra), pero no necesariamente el mismo número. 

Por ejemplo.

• 3x + 4x = Son términos semejantes.
• 3x +4y = NO son términos semejantes.

Si un término está compuesto por varias letras y estas son iguales, entonces son términos semejantes. 

Ejemplo.

• 5xy – 4xy = son semejantes porque tienen las mismas letras.
• 5xy – 4yz = NO son semejantes porque no tienen la misma letra.

Además de la variable, un término semejante debe también tener el mismo exponente. Esto quiere decir que si un termino tiene la misma variable (s) pero diferente exponente, no es semejante. 

Ejemplo.

• 3x² 2x³ (estos dos términos no son semejantes, tienen la misma variable pero diferente exponente).
• 5yz² 4yz 3yz² (solo 5yz² 3yz² son semejantes porque tienen las mismas variables -letras- y el mismo exponente).

Ahora puede revisar el video para aprender como simplificar términos semejantes haciendo uso de la signos para la suma y resta.

Recuerda:

• Números con signos iguales se suman.
• Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor.

Les dejo el siguiente video para que comprendan aun mejor el tema.

Para finalizar les dejo unos pequeños ejercicios con sus respectivas respuestas para que pongan en practica sus conocimientos en casita y les sugiero que primero intenten hacerlos y luego comparen las respuestas.

Ejercicios de practica.

1. 2x - 5x + 9x
2. 2x + 7x + x – 8x
3. 5xy – 3x + 4xy
4. 6x – 8y – 4y
5. 3y + 5y – 7y + x
6. 8z + 3xy – 12z
7. 5m – 9n + 2n
8. 10x + 4y – y
9. 6z – 4z + 2z
10. 3x – 7y + 5x + 4y
11. 6b – 3b + 8a – 18b + a
12. 9z + 8zy² – 5z + zy² – 15xy²
13. x + 3xy – 6x – 2x + 8xy + y – 2xy
14. 8n – 4mn + 4n – 3mn + 5m
15. 24m²n – 2mn – 12m²n – m³

Respuestas:

• 6x
• 2x
• 9xy – 3x
• 6x – 12y
• y + x
• – 4z + 3xy
• 5m – 7n
• 10x +3y
• 4z
• 8x – 3y
• 9a – 15b
• 4z + 9zy² – 15xy²
• – 7x + 9xy + y
• 5m + 12n – 7mn
• – m³ + 12m²n – 2mn

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

TRABAJEMOS CON ECUACIONES 

DE SEGUNDO GRADO.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita x es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y la forma más común en la que se expresa es: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 (pues si fuera cero, la ecuación no sería de segundo grado), b es el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente entonces una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma  ax2 + bx + c. donde no se anula a, observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Ejemplos:

•  x2 – 9 = 0 
•  x2 – x – 12 = 0 
• 2x2 – 3x – 4 = 0 
• x2 – 9 = 3x + 1 
• x · (x + 1) = 56
•  (x + 2)2 = 81

Recuerda que cuando delante de la x no aparece ningún número multiplicando se entiende que el coeficiente correspondiente es 1. 

Es conveniente destacar que, en principio, una ecuación de segundo grado puede no llevar en su forma inicial la x elevada al cuadrado, pero en el desarrollo previo a su resolución aparece este término cuadrático. Observa las dos últimas ecuaciones que se dan en los ejemplos anteriores. 

Como norma general, veremos que para resolver ecuaciones de segundo grado, en primer lugar desarrollaremos los términos que aparecen, quitando paréntesis, agrupando términos semejantes y ordenándolos de forma conveniente hasta llegar a la expresión general ax2 + bx + c= 0.

Aunque en la expresión general los coeficientes a, b y c aparecen como positivos (por simplificación), debemos tener presente que pueden tomar valores tanto positivos como negativos.

Una ecuación de segundo grado tiene la siguiente forma:

Parábola.

Una ecuación de segundo grado se puede convertir en una función de la siguiente manera, sea f(x)= ax2 + bx + c, la cual se conoce como función cuadrática. Como ya sabes se puede establecer que y=f(x), por lo que se tiene que: y= ax2 + bx + c.

La gráfica de esta función es una curva que lleva por nombre: Parábola, y se gráfica de una manera similar a como se hizo con la función afín, esto es, se le dan algunos valores a la variable x para obtener los respectivos valores de la y, luego se construye una tabla de valores y finalmente trazamos la curva de la función.

La gráfica de la parábola tiene las siguientes características:

1) Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.

2) Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

3) El vértice es el punto más alto ó el más bajo de la parábola, según sea el caso.

4) El vértice se calcula con la siguiente fórmula:

  

El primer término representa la x y el segundo término representa la y.

5) Si el discriminante (b2-4ac), es positivo, la parábola corta al eje x en dos puntos diferentes.

6) Si el discriminante (b2-4ac), es negativo, la parábola no toca al eje x.

7) Si el discriminante (b2-4ac), es igual a cero, la parábola toca al eje x en un único punto.

8) Los puntos de corte de la parábola con el eje x, son los que resultan de la resolvente cuadrática:

Ejemplo:

Graficar la siguiente función, y= x2-4x+3.

Al igual como se hizo con la función afín, le damos algunos valores a la x, y el resultado que obtenemos es valor para la y. 

Verifica los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

La grafica queda de la siguiente manera.

👉A continuación les dejo un video anexado.

TRABAJEMOS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Ecuaciones de primer grado.

Las ecuaciones de primer grado han sido históricamente una herramienta muy útil para la resolución de problemas del entorno en que el ser humano se desenvuelve, por ejemplo, los egipcios utilizaban un método llamado "falsa posición" y consistía en que para resolver una ecuación como 3x + 5x = 16, sustituían por un valor x = 4 (como ejemplo) y esto da como resultado 3 × 4 + 5 × 4 = 32 y luego se utilizaba la regla de 3 para calcular el valor verdadero de x = 4 × 16/32 = 2.

La solución general de una ecuación de primer grado fue planteada en la antigüedad en regiones como la India, y su utilización y aplicación en áreas científicas ha sido muy importante hasta la fecha en contextos como cálculo de velocidades y distancias para la ingeniería automotriz, porcentajes y descuentos, cálculo de herencias, cálculo de honorarios o salarios, ingeniería de sistemas, entre otros, por eso se vuelve un tema fundamental, ya que se utiliza en muchos ámbitos profesionales.

¿Cómo se considera una expresión algebraica?

Es una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad algebraica cuya potencia es equivalente a uno, pudiendo contener una, dos o más incógnitas.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita poseen la forma:

ax + b = c

Siendo a ≠ 0. Es decir, ‘a’ no es cero. ‘b’ y ‘c’ son dos constantes. Esto es, dos números fijos. Por último, ‘x’ es la incógnita (el valor que no sabemos). En tanto que, las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas poseen la forma:

mx + b = y.

Estas, también son llamadas ecuaciones simultáneas. ‘x’ e ‘y’ son incógnitas, m es una constante que indica la pendiente y b es una constante.

Existen ecuaciones que no poseen ninguna solución posible, a estas se denominan ecuaciones sin solución. Así mismo, existen ecuaciones que tienen varias soluciones, estas son denominadas ecuaciones con infinitas soluciones.

A un conjunto de ecuaciones lineales se le denomina sistema de ecuaciones. Las incógnitas, en estos sistemas de ecuaciones pueden figurar en varias de las ecuaciones, de manera que no necesariamente deban figurar en todas ellas.

Conozcamos los elementos de una ecuación de primer grado:

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son el primer paso en el mundo del álgebra, mx+n=0, donde son de gran utilidad para resolver problemas de la vida diaria, además de servirnos de gran comprensión para el correcto desarrollo de ecuaciones de mayor grado.

Presentación de un video corto sobre el tema.

Al observar la ilustración siguiente, nos daremos cuentas que en una ecuación intervienen varios elementos. Veamos:

Como se puede apreciar en la gráfica anterior, una ecuación posee varios elementos los cuales son:

• Términos.
• Miembros.
• Incógnitas.
• Términos independientes.

Consideremos en resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, prácticamente, resolver una ecuación, en este caso, de primer grado es determinar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad. Los pasos son los siguientes:

 

• Agrupan los términos semejantes. Es decir, proceder a pasar los términos que contengan variables al lado izquierdo de la expresión y las constantes al lado derecho de la expresión.
• Finalmente, se procede a despejar la incógnita.

El método que vamos a utilizar consiste en pasar una ecuación más compleja en una equivalente más sencilla, para ello nos apoyaremos en las siguientes reglas:
Regla de la suma: Si sumamos o restamos una misma cantidad de dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.
Regla del producto: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una ecuación por un mismo número obtenemos una ecuación equivalente.

Ejemplo 1:

Resolveremos una ecuación muy simple: 2x+1=9
Para calcular la ecuación equivalente y eliminar el +1 del primer miembro de la ecuación sumamos -1 en ambos lados de la igualdad
2x+1-1=9-1

2x=8
(Comúnmente, pasamos el +1 al otro miembro cambiando el signo; 2x=9-1)
Del mismo modo, para eliminar el 2 que multiplica a nuestra x, dividimos en ambas expresiones entre 2:
2x/2=8/2
R//x=4
(Comúnmente, pasamos el 2 al otro miembro dividiendo; x=8/2 )

Ejemplo 2:
Segundo ejemplo sobre ecuaciones de primer grado
Si nos encontramos con incógnitas en ambos miembros: 3x+5=x+1
En primer lugar, pasamos todos los términos con incógnita a un miembro de la ecuación y los términos sin ella al otro miembro.
3x-x=1-5
2x=-4
x=-4/2=-2
R//x=-2

Ejemplo 3:

Si nos aparecen denominadores en la ecuación debemos hacer el mínimo común múltiplo y multiplicar todo la ecuación por él.

Puedes visualizar el siguiente ejemplo resuelto en el siguiente videotutorial:

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES.

 

Reducción de términos semejantes.

¿Qué es la reducción de términos semejantes?

La reducción de términos semejantes es un método que se emplea para simplificar expresiones algebraicas. En una expresión algebraica, los términos semejantes, son aquellos que tienen la misma variable; es decir, tienen las mismas incógnitas representadas por una letra, y estas tienen los mismos exponentes.

En algunos casos los polinomios son extensos, y para llegar a una solución se debe tratar de reducir la expresión; eso es posible cuando existen términos que son semejantes, que pueden ser combinados aplicando operaciones y propiedades algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.

Seguidamente damos paso a la explicación:

Los términos semejantes están formados por las mismas variables con los mismos exponentes, y en algunos casos estos solo se diferencian por sus coeficientes numéricos también son considerados términos semejantes aquellos que no tienen variables; es decir, aquellos términos que solo poseen constantes. Así, por ejemplo, los siguientes son términos semejantes:

• 6x2 – 3x2. Ambos términos tienen la misma variable x2.
• 4a2b3 + 2a2b3. Ambos términos tienen las mismas variables a2b3.
• 7 – 6. Los términos son constantes.
• 
  
• Aquellos términos que tienen las mismas variables, pero con diferentes exponentes son llamados términos no semejantes, como por ejemplo:
• 9a2b + 5ab. Las variables tienen diferentes exponentes.
• 5x + y. Las variables son diferentes.
• b – 8. Un término tiene una variable, el otro es una constante.

Identificando los términos semejantes que forman un polinomio, estos se pueden reducir a uno, combinando todos aquellos que tengan las mismas variables con iguales exponentes. De esa forma se simplifica la expresión disminuyendo el número de términos que la componen y se facilita el cálculo de su solución.

¿Cómo hacer una reducción de términos semejantes?.

La reducción de términos semejantes se hace aplicando la propiedad asociativa de la adición y la propiedad distributiva del producto. Usando el siguiente procedimiento se puede hacer una reducción de términos:

Primero se agrupan lo términos semejantes.

Se suman o restan los coeficientes (los números que acompañan a las variables) de los términos semejantes, y se aplican las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas, según sea el caso.

Después se escriben los nuevos términos obtenidos, colocando delante de estos el signo que resultó de la operación.

Ejemplo:
Reducir los términos de la siguiente expresión: 10x + 3y + 4x + 5y.
Solución.
Primero se ordenan los términos para agrupar los que son semejantes, aplicando la propiedad conmutativa:
10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y +5y.
Luego se aplica la propiedad distributiva y se suman los coeficientes que acompañan a las variables para obtener la reducción de los términos:
10x + 4x + 3y +5y
= (10 + 4)x + (3 + 5)y
= 14x + 8y.
Para reducir términos semejantes es importante tomar en cuenta los signos de que tienen los coeficientes que acompañan a la variable.

Existen tres casos posibles: Reducción de términos semejantes con signos iguales.

En este caso los coeficientes son sumados y delante del resultado se coloca el signo de los términos. Por lo tanto, si son positivos, los términos resultantes serán positivos; en el caso de que los términos sean negativos, el resultado tendrá el signo (-) acompañado de la variable. 

Por ejemplo:

a) 22ab2 + 12ab2 = 34 ab2.

b) -18x3 – 9x3 – 6 = -27x3 – 6.

Reducción de términos semejantes con signos diferentes:

En este caso se restan los coeficientes, y delante del resultado se coloca el signo del coeficiente mayor.

Por ejemplo:

a) 15x2y – 4x2y + 6x2y – 11x2y

= (15x2y + 6x2y ) + ( – 4x2y – 11x2y)

= 21x2y + (-15x2y)

= 21x2y – 15x2y

= 6x2y.

b) -5a3b + 3 a3b – 4a3b + a3b

= (3 a3b + a3b) + (-5a3b – 4a3b)

= 4a3b – 9a3b

= -5 a3b.

De esa forma, para reducir los términos semejantes que posean signos diferentes se forma un solo término aditivo con todos aquellos que tengan signo positivo (+), se suman los coeficientes y el resultado se acompaña de las variables.

De la misma manera se forma un término sustractivo, con todos aquellos términos que tengan signo negativo (-), se suman los coeficientes y el resultado se acompaña de las variables.

Finalmente se restan las sumas de los dos términos formados, y al resultado se coloca el signo de la mayor.

Reducción de términos semejantes en operaciones

La reducción de términos semejantes es una operación del álgebra, que puede ser aplicada en suma, resta, multiplicación y división algebraica.

En sumas

Cuando se tienen varios polinomios con términos semejantes, para reducirlos se ordenan los términos de cada polinomio manteniendo sus signos, luego se escriben unos tras otros y se reducen los términos semejantes. Por ejemplo, se tienen los siguientes polinomios:

3x – 4xy + 7x2y + 5xy2.

– 6x2y – 2xy + 9 xy2 – 8x.

En restas:

Para restar un polinomio de otro se escribe el minuendo y luego el sustraendo con sus signos cambiados, y después se hace la reducción de los términos semejantes. Por ejemplo:

5a3 – 3ab2 + 3b2c

6ab2 + 2a3 – 8b2c

Así, los polinomios son resumidos a 3a3 – 9ab2 + 11b2c.

En multiplicaciones:

En un producto de polinomios se multiplican los términos que conforman el multiplicando por cada término que forma el multiplicador, considerando que los signos de la multiplicación se mantienen iguales si estos son positivos.

Solo se cambiarán cuando se multiplique por un término que sea negativo; es decir, cuando dos términos del mismo signo se multiplican el resultado será positivo (+), y cuando tienen signos diferentes el resultado será negativo (-).

Por ejemplo:

a) (a + b) * (a + b)

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab+ b2.

b) (a + b) * (a – b)

= a2 – ab + ab – b2

= a2 – b2.

c) (a – b) * (a – b)

= a2 – ab – ab + b2

= a2 – 2ab+ b2.

En divisiones:

Cuando se quieren reducir dos polinomios a través de una división se debe encontrar un tercer polinomio que, al multiplicarse por el segundo (divisor), dé como resultado el primer polinomio (dividendo).

Para eso se deben ordenar los términos del dividendo y el divisor, de izquierda a derecha, de forma que las variables en ambos estén en el mismo orden.

Luego se realiza la división, comenzando desde el primer término de la izquierda del dividendo entre el primero de la izquierda del divisor, teniendo siempre en cuenta los signos de cada término.

Por ejemplo, reducir el polinomio: 

10x4 – 48x3y + 51x2y2 + 4xy3 – 15y4 

dividiéndolo entre el polinomio: -5x2 + 4xy + 3y2.

El polinomio resultante es -2x2 + 8xy – 5y2.

Primer ejercicio.

Reducir los términos de la expresión algebraica dada:

15a2 – 8ab + 6a2 – 6ab – 9 +4a2 – 13 ab.

Solución:

Se aplica la propiedad conmutativa de la suma, agrupando los términos que tengan las mismas variables:

15a2 – 8ab + 6a2 – 6ab + 9 +4a2 – 13

= (15a2 + 6a2 + 4a2) + (– 8ab – 6ab) + (9 – 13).

Luego se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación:

15a2 – 8ab + 6a2 – 6ab + 9 +4a2 – 13

= (15 + 6 + 4) a2 + (– 8 – 6) ab + (9 – 13).

Para finalizar, se simplifican sumando y restando los coeficientes de cada término:

15a2 – 8ab + 6a2 – 6ab + 9 +4a2 – 13

= 25a2 – 14ab – 4.

De esta forma dejamos anexado el siguiente video para una mejor comprensión.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

 

Empecemos con las expresiones algebraicas.

Las expresiones algebraicas son una forma de expresar las relaciones que tienen los fenómenos y objetos que vemos en términos matemáticos es decir que las expresiones algebraicas son la combinación de letras, signos y números las letras, generalmente, representan cualquier valor y/o cantidades conocidas o desconocidas por lo que se les conoce como variables o incógnitas.

además de ello trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

¿Para qué sirven?

Sirven para traducir valores desconocidos a números.

La rama de las matemáticas encargada del estudio de estas expresiones, es el álgebra.

Nos permiten:

• Traducir, al lenguaje matemático alguna situación de la vida cotidiana.
• Resolución de problemas de cualquier índole.
• Modelar algún problema para resolverlo fácilmente.
• Plantear ecuaciones.
• Hacer operaciones con literales como si fueran números.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 

L = 2 r, donde r es el radio de la circunferencia. 

Área del cuadrado: S = l 2 , donde l es el lado del cuadrado. 

Volumen del cubo: V = a3 , donde a es la arista del cubo.

Conozcamos el lenguaje algebraico.

El lenguaje algebraico es la forma de describir cómo se relacionan entre sí las variables de un problema o de un fenómeno, para poder conocer sus resultados con cada valor que tomen las variables. Si son dos variables diferentes, se les asignan dos letras diferentes, por lo general: x, y. Si se les suma, se coloca un signo de suma (+) entre ellas: x + y. Si se multiplican, se pone un signo de multiplicación entre ellas: x * y.

Elementos del lenguaje algebraico.

El lenguaje algebraico, antes de utilizarse, debe ser aprendido y comprendido. Por eso, vale la pena ver por separado cada uno de sus elementos, que son:

1. Variables
2. Literales
3. Signos
4. Constantes
5. Ecuaciones

Las variables son todas las medidas o parámetros que participan en el problema o el fenómeno. Estas se van a afectar entre sí para dar paso a una variable más compleja o crear un principio o teorema que se repita y sea válido para usarse siempre en el mismo fenómeno. Para usarlas en el lenguaje algebraico, se les asignan letras de un alfabeto. Variables son, por ejemplo: la longitud (L), la altura (h), la masa (m), la densidad (ρ).

Los signos son los caracteres que indican si dos variables se suman (+), se restan (–), se multiplican (*, x), se dividen (÷, /) o se potencian (^); todos estos son los signos de las operaciones fundamentales. Por otro lado, se usan también los signos de agrupación, como los paréntesis ( ), los corchetes [ ], las llaves { }.

Practiquemos un poco sobre como aplicar el lenguaje algebraico.

• El doble o duplo de un número: 2x
• 
  
• El triple de un número: 3x
• 
  
• El cuádruplo de un número: 4x
• 
  
• La mitad de un número: x/2.
• 
  
• Un tercio de un número: x/3.
• 
  
• Un cuarto de un número: x/4.
• 
  
• Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
• 
  
• Un número al cuadrado: x2
• 
  
• Un número al cubo: x3
• 
  
• Dos números consecutivos: x y x + 1.
• 
  
• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
• 
  
• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
• 
  
• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
• 
  
• La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
• 
  
• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
• 
  
• El producto de dos números es 24: x y 24/x.
• 
  
• El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
• Suma de dos números cualesquiera: a + b
• Diferencia de dos números cualesquiera: a – b
• Producto de dos números cualesquiera: a * b
• Cociente de dos números cualesquiera: a / b
• Un número cualquiera elevado al cuadrado: x2
• Un número cualquiera elevado al cubo: x3
• Diferencia de un número cualquiera y la suma de otros diferentes: x – (y + z)
• Cociente del cuadrado de un número entre el cubo de otro: x2 / y3
• Producto de: suma de dos números cualesquiera por el primero (x + y) * x
• Cociente de: diferencia de dos números cualesquiera entre el segundo (x – y) / y
• Suma de: doble de un número más el cuadrado de otro 2x + y2
• Suma de: triple de un número más doble de otro 3x + 2y
• Diferencia de: doble de un número menos el cuadrado de otro 2x – y2
• Producto de: cubo de un número por el cuadrado de otro x3 * y2
• Producto de: cuadrado de un número por el cuadrado de otro x2 * y2
• Producto de: suma de dos números por la diferencia de los mismos (x + y) * (x – y)
• Cociente de: suma de dos números entre la diferencia de los mismos (x + y) / (x – y)
• Raíz cuadrada de la suma de dos números cualesquiera: √ (x + y)
• Raíz cuadrada del producto de dos números cualesquiera √ (a * b)
• Producto de la raíz cuadrada de un número por el cuadrado de otro √x * y2
• Raíz cuadrada de: diferencia de un número menos el cuadrado de otro √(x – y2)
• Cociente de: Suma de dos números entre la diferencia de otros dos (x + y) / (x – y)
• Cociente de: raíz de un número entre el cuadrado de otro √x / y2
• Cociente de: diferencia de dos números entre suma de otros dos (a – b) / (x + y)
• Cociente de: suma de dos números entre el producto de los mismos (a + b) / (a * b)
• Producto de: cociente de dos números por el cuadrado de otro (a / b) * c
• Suma de: producto de dos números más el cociente de los mismos (a * b) + (a / b)
• Diferencia de: cociente de dos números menos el producto de otros (a / b) – (x * y)
• Producto de tres números cualesquiera: x * y * z
• Producto de: diferencia de dos números por producto de tres números (a – b)*(c * d * e).

Ejemplos aplicados.

Ejemplo 1: Exprese en lenguaje algebraico lo siguiente: un número disminuido en 9

Solución: Al ser un número cualquiera, podemos representarlo con cualquier literal, puede ser una “x” o una “y”, o quizá una “z”, no importa que literal uses, porque finalmente representa a cualquier número, y a su vez ese número está disminuido o sea restado en 9. Podríamos decir entonces que eso es:
R//=  x-9

Así de fácil, si te das cuenta no hay problema alguno para no comprender las indicaciones del lenguaje algebraico, bien ahora pasemos a un ejemplo más complicado. ¡Le subamos nivel! 

Ejemplo 2: Exprese en lenguaje algebraico lo siguiente: tres números consecutivos

Solución: Ya sabemos que un número cualquiera lo podemos expresar con la literal que más nos agrade, entonces seguiremos tomando a “X” como a esa literal.

Pero si observamos ahora nos dice que son tres números consecutivos. Pues bien; pongamos un ejemplo aún más claro para comprender el ejemplo, si tengo a un número digamos 3, entonces su consecutivo sería 4, y el siguiente sería 5 y luego 6, etc… Entonces viendo el problema del lenguaje algebraico diríamos.

R//= x+1, x+2, x+3

Ejemplo 3: Exprese en lenguaje algebraico lo siguiente: La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.

Solución: Con este ejemplo nos daremos cuenta si hemos aprendido un poco por ahora, si nos piden la raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera sabemos que esos números cualesquiera serán dos incógnitas es decir que puedo tomar a “x” y también “y” , pero si es una diferencia entonces decimos que:
 R//= x-y

Hasta ahí tenemos la diferencia de dos números cualesquiera

Pero también piden su raíz cúbica

Valor numérico de una expresión algebraica.

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

👉Les dejo el siguiente video para que se empapen aun mejor de las bases de este tema.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

 

Hablemos un poco sobre las propiedades de los exponentes.

Una de las herramientas matemáticas más poderosas y útiles es el álgebra. Las operaciones esenciales como la multiplicación y la división con términos algebraicos pueden realizarse más fácilmente si hay un buen manejo de las propiedades de los exponentes.

(ab)2 =a2 b2

En matemáticas cuando hablamos de potencia nos referimos a una expresión matemática que consta de dos partes: base y exponente.

Una potencia se escribe de la siguiente forma:

Donde x es la base y m el exponente.

El resultado de una potencia se calcula multiplicando la base por si misma el número de veces que lo indique el exponente.

Siempre hay que tomar en cuenta los signos, tanto de la base como del exponente para obtener el resultado correcto:

• Cuando la base tiene signo positivo y el exponente es un número par o impar, el resultado de la potencia es positivo.
• Cuando la base tiene signo negativo y el exponente es un número par, el resultado de la potencia es positivo.
• Cuando la base tiene signo negativo y el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es negativo.

Ejemplos:

(2)4 = (2) (2) (2) (2) = 16

(-4)4 = (-4) (-4) (-4) (-4) = 256

(-7)5 = (-7) (-7) (-7) (-7) (-7) = -16807

Propiedades.

Las propiedades de los exponentes permiten simplificar y reducir operaciones en la multiplicación y división con potencias:

Producto de potencias de la misma base:

Da como resultado una potencia con la misma base y la suma de los exponentes

Ejemplos:

División de potencias de la misma base:

Da como resultado una potencia con la misma base y la diferencia del exponente del numerador menos el exponente del denominador

Ejemplos:

Potencia con exponente cero:

Es el resultado de dividir dos potencias de la misma base, cuyos exponentes son iguales; lo anterior da como resultado la misma base con exponente cero, recordando que cualquier literal o número elevado a la potencia cero da como resultado la unidad.

Esta propiedad es muy importante para la simplificación algebraica.

Considerando que m = n:

Ejemplo:

Potencia con exponente negativo:

Resulta de dividir dos potencias de la misma base, donde el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador. El resultado es una fracción.

Ejemplos:

Tomado en consideración lo anterior podemos inferir que una potencia con exponente negativo tiene la siguiente expresión:

Potencia de potencias:

Es cuando tenemos el caso en que una potencia está elevada a otro exponente, de forma que la primera potencia es la base de la otra potencia, en este caso se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

Puedes ver los siguientes videos como manera de reforzar el tema y veraz que es un tema muy fácil de comprender.