ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

TRABAJEMOS CON ECUACIONES 

DE SEGUNDO GRADO.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita x es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y la forma más común en la que se expresa es: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 (pues si fuera cero, la ecuación no sería de segundo grado), b es el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente entonces una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma  ax2 + bx + c. donde no se anula a, observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Ejemplos:

•  x2 – 9 = 0 
•  x2 – x – 12 = 0 
• 2x2 – 3x – 4 = 0 
• x2 – 9 = 3x + 1 
• x · (x + 1) = 56
•  (x + 2)2 = 81

Recuerda que cuando delante de la x no aparece ningún número multiplicando se entiende que el coeficiente correspondiente es 1. 

Es conveniente destacar que, en principio, una ecuación de segundo grado puede no llevar en su forma inicial la x elevada al cuadrado, pero en el desarrollo previo a su resolución aparece este término cuadrático. Observa las dos últimas ecuaciones que se dan en los ejemplos anteriores. 

Como norma general, veremos que para resolver ecuaciones de segundo grado, en primer lugar desarrollaremos los términos que aparecen, quitando paréntesis, agrupando términos semejantes y ordenándolos de forma conveniente hasta llegar a la expresión general ax2 + bx + c= 0.

Aunque en la expresión general los coeficientes a, b y c aparecen como positivos (por simplificación), debemos tener presente que pueden tomar valores tanto positivos como negativos.

Una ecuación de segundo grado tiene la siguiente forma:

Parábola.

Una ecuación de segundo grado se puede convertir en una función de la siguiente manera, sea f(x)= ax2 + bx + c, la cual se conoce como función cuadrática. Como ya sabes se puede establecer que y=f(x), por lo que se tiene que: y= ax2 + bx + c.

La gráfica de esta función es una curva que lleva por nombre: Parábola, y se gráfica de una manera similar a como se hizo con la función afín, esto es, se le dan algunos valores a la variable x para obtener los respectivos valores de la y, luego se construye una tabla de valores y finalmente trazamos la curva de la función.

La gráfica de la parábola tiene las siguientes características:

1) Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.

2) Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

3) El vértice es el punto más alto ó el más bajo de la parábola, según sea el caso.

4) El vértice se calcula con la siguiente fórmula:

  

El primer término representa la x y el segundo término representa la y.

5) Si el discriminante (b2-4ac), es positivo, la parábola corta al eje x en dos puntos diferentes.

6) Si el discriminante (b2-4ac), es negativo, la parábola no toca al eje x.

7) Si el discriminante (b2-4ac), es igual a cero, la parábola toca al eje x en un único punto.

8) Los puntos de corte de la parábola con el eje x, son los que resultan de la resolvente cuadrática:

Ejemplo:

Graficar la siguiente función, y= x2-4x+3.

Al igual como se hizo con la función afín, le damos algunos valores a la x, y el resultado que obtenemos es valor para la y. 

Verifica los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

La grafica queda de la siguiente manera.

👉A continuación les dejo un video anexado.